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Qu’est-ce que l’aléatoire ?

L’émission « In Our Time » de la BBC Radio 4 a examiné la question de l’aléatoire aujourd’hui. Le site Web In Our Time contient un lien vers l’émission sur l’iPlayer, si vous l’avez manquée la première fois.

Qu’entend-on par hasard? Eh bien, un événement vraiment aléatoire n’est pas déterministe, c’est-à-dire qu’il n’est pas possible de déterminer le résultat suivant, sur la base des résultats précédents ou de toute autre chose.

En fait, les processus aléatoires sont très importants dans de nombreux domaines des mathématiques, des sciences et de la vie en général, mais les processus véritablement aléatoires sont très difficiles à réaliser. Pourquoi cela devrait-il être le cas ? Car, en théorie, de nombreux processus que nous considérons comme aléatoires, comme lancer un dé, sont en fait déterministes. Théoriquement, vous pourriez déterminer le résultat du jet de dés si vous connaissiez sa position exacte, sa taille, etc.

L’ancien philosophe et mathématicien grec Démocrite (environ 460 av. J.-C. – environ 370 av. J.-C.) était membre du groupe connu sous le nom d’Atomistes. Ce groupe d’anciens a lancé le concept selon lequel toute matière peut être subdivisée en ses éléments constitutifs fondamentaux, les atomes. Démocrite a décrété que le vrai hasard n’existait pas. Il donne l’exemple de deux hommes qui se rencontrent dans un puits, et tous deux considèrent que leur rencontre est un pur hasard. Ce qu’ils ne savaient pas, c’est que la réunion avait probablement été organisée auparavant par leurs familles. Cela peut être considéré comme une analogie avec le lancer de dés déterministe : il y a des facteurs qui déterminent le résultat, même si nous ne pouvons pas les mesurer ou les contrôler avec précision.

Épicure (341 av. J.-C. – 270 av. J.-C.), un mathématicien grec postérieur, n’était pas d’accord. Bien qu’il n’ait aucune idée de la petite taille des atomes, il a suggéré qu’ils dévient au hasard sur son chemin. Peu importe à quel point nous comprenons les lois du mouvement, il y aura toujours un caractère aléatoire introduit par cette propriété sous-jacente des atomes.

Aristote a davantage travaillé sur la probabilité, mais cela est resté une quête non mathématique. Il a divisé toutes choses en certaines, probables et inconnaissables, par exemple, écrivant sur le résultat du lancer d’osselets, les premiers dés, comme inconnaissables.

Comme dans de nombreux autres domaines des mathématiques, le sujet du hasard et des probabilités n’a pas refait surface en Europe avant la Renaissance. Le mathématicien et joueur Gerolamo Cardano (24 septembre 1501 – 21 septembre 1576) a correctement enregistré les probabilités d’obtenir un six avec un dé, un double six avec deux dés et un triple avec trois. Il a été la première personne à remarquer, ou du moins à enregistrer, le fait que vous êtes plus susceptible de lancer 7 avec 2 dés que tout autre nombre. Ces divulgations faisaient partie de son manuel de joueur. Cardano avait terriblement souffert de son penchant pour le jeu (il mettait parfois en gage tous les biens de sa famille, se retrouvait dans une maison pauvre et se battait). Ce livre était sa façon de dire à ses coéquipiers combien ils devaient miser et comment éviter d’avoir des ennuis.

Au 17ème siècle, Fermat et Pascal ont collaboré et développé une théorie plus formalisée de la probabilité, et les probabilités ont été attribuées à des nombres. Pascal a développé l’idée d’une valeur attendue et a utilisé un argument probabiliste, le Pari de Pascal, pour justifier sa croyance en Dieu et sa vie vertueuse.

Aujourd’hui, il existe des tests sophistiqués qui peuvent être effectués sur une séquence de nombres pour déterminer si la séquence est vraiment aléatoire ou si elle a été déterminée par une formule, un humain ou un autre moyen. Par exemple, le nombre 7 apparaît-il un dixième du temps (plus ou moins une erreur autorisée) ? Le chiffre 1 est-il suivi d’un autre 1 un dixième du temps ?

Une série de tests de plus en plus sophistiqués peut être lancée. Nous avons le « poker test », qui analyse les nombres par groupes de 5, pour voir s’il y a deux paires, triplés, etc., et compare la fréquence de ces schémas avec ceux attendus dans une distribution vraiment aléatoire. Le test du chi carré est le test préféré des autres statisticiens. Puisqu’un modèle particulier s’est produit, il donnera une probabilité et un niveau de confiance qu’il a été généré par un processus aléatoire.

Mais aucun de ces tests n’est parfait. Il existe des séquences déterministes qui semblent aléatoires (elles passent tous les tests) mais elles ne le sont pas. Par exemple, les chiffres du nombre irrationnel semblent être une séquence aléatoire et passent tous les tests d’aléatoire, mais ce n’est bien sûr pas le cas. π est une suite déterministe de nombres : les mathématiciens peuvent la calculer avec autant de décimales qu’ils le souhaitent, avec des ordinateurs suffisamment puissants.

Une autre distribution apparemment aléatoire qui se produit naturellement est celle des nombres premiers. L’hypothèse de Riemann fournit un moyen de calculer la distribution des nombres premiers, mais elle reste non résolue et personne ne sait si l’hypothèse est toujours valable pour de très grandes valeurs. Cependant, comme les chiffres du nombre irrationnel , la distribution des nombres premiers passe tous les tests d’aléatoire. C’est encore déterministe, mais imprévisible.

Une autre mesure utile du caractère aléatoire est une statistique appelée Complexité de Kolmogorov, du nom du mathématicien russe du 20e siècle. La complexité de Kolmogorov est la description la plus courte possible d’une séquence de nombres, par exemple la séquence 01010101 …. pourrait être simplement décrite comme « Répéter 01 ». Il s’agit d’une description très courte, indiquant que la séquence n’est certainement pas aléatoire.

Cependant, pour une séquence vraiment aléatoire, il serait impossible de décrire la séquence de chiffres sous une forme simplifiée. La description serait aussi longue que la séquence elle-même, indiquant que la séquence semblerait être aléatoire.

Au cours des deux derniers siècles, les scientifiques, les mathématiciens, les économistes et bien d’autres ont commencé à se rendre compte que les séquences de nombres aléatoires sont très importantes pour leur travail. Et ainsi, au 19ème siècle, des méthodes ont été conçues pour générer des nombres aléatoires. Dés, mais peut être biaisé. Walter Welden et sa femme ont passé des mois à la table de leur cuisine à lancer un jeu de 12 dés plus de 26 000 fois, mais ces données se sont révélées erronées en raison de biais de dés, ce qui semble être une honte terrible.

La première collection publiée de nombres aléatoires apparaît dans un livre de 1927 de Leonard HC Tippet. Après cela, il y a eu de nombreuses tentatives, beaucoup ont échoué. L’une des méthodes les plus réussies a été celle utilisée par John von Neumann, qui a été le pionnier de la méthode du carré moyen, dans laquelle un nombre de 100 chiffres est mis au carré, les 100 chiffres du milieu sont retirés du résultat et réécrits. au. Très rapidement, ce processus produit un ensemble de chiffres qui passent tous les tests d’aléatoire.

Lors de l’élection présidentielle américaine de 1936, tous les sondages d’opinion indiquaient un résultat serré, avec une victoire possible pour le candidat du Parti républicain Alf Landon. En l’occurrence, le résultat a été une victoire écrasante pour Franklin D. Roosevelt du Parti démocrate. Les sondeurs d’opinion avaient choisi des techniques d’échantillonnage médiocres. Dans leurs tentatives d’être high-tech, ils avaient téléphoné aux gens pour leur demander leurs intentions de vote. Dans les années 1930, les personnes les plus riches, principalement des électeurs républicains, étaient beaucoup plus susceptibles de posséder un téléphone, de sorte que les résultats du sondage étaient profondément faussés. Dans les enquêtes, la véritable randomisation de l’échantillon de population est d’une importance primordiale.

De même, il est également très important dans les tests médicaux. Le choix d’un ensemble d’échantillons biaisé (par exemple, trop de femmes, trop de jeunes, etc.) peut donner l’impression qu’un médicament est plus ou moins susceptible de fonctionner, ce qui fausse l’expérience et peut avoir des conséquences dangereuses.

Une chose est sûre : les humains ne sont pas très bons pour produire des séquences aléatoires et ils ne sont pas très bons pour les détecter non plus. Lors d’un test avec deux motifs de points, un humain est particulièrement mauvais pour décider quel motif a été généré de manière aléatoire. De plus, lorsqu’ils essaient de créer une séquence aléatoire de nombres, très peu de personnes incluent des caractéristiques telles que des chiffres qui apparaissent trois fois de suite, ce qui est une caractéristique très importante des séquences aléatoires.

Mais y a-t-il quelque chose de vraiment aléatoire ? Pour en revenir aux dés que nous avons envisagés au début, où la connaissance des conditions initiales précises nous aurait permis de prédire le résultat, cela est sûrement vrai pour tout processus physique qui crée un ensemble de nombres.

Eh bien, jusqu’à présent, la physique atomique et quantique est la plus proche de nous fournir des événements vraiment imprévisibles. À ce jour, il est impossible de déterminer avec précision quand une matière radioactive se décomposera. Cela semble aléatoire, mais peut-être que nous ne comprenons tout simplement pas. À l’heure actuelle, c’est encore probablement le seul moyen de générer des séquences vraiment aléatoires.

Ernie, le générateur de numéros d’obligations premium du gouvernement britannique, en est maintenant à sa quatrième réincarnation. Il doit être aléatoire, afin que tous les détenteurs d’obligations premium du pays aient une chance égale de gagner un prix. Il contient une puce qui tire parti du bruit thermique en lui-même, c’est-à-dire la quantité de mouvement des électrons. Les statisticiens du gouvernement testent les séquences de nombres que cela génère et, en fait, réussissent des tests d’aléatoire.

D’autres applications sont : les nombres premiers aléatoires utilisés dans les transactions Internet, le cryptage de votre numéro de carte de crédit. Les machines de la Loterie Nationale utilisent un ensemble de boules très légères et de courants d’air pour les mélanger, mais comme les dés, cela pourrait, en théorie, être prédit.

Enfin, le Met Office utilise des ensembles de nombres aléatoires pour ses prévisions d’ensemble. Il est parfois difficile de prédire le temps en raison de la « théorie du chaos » bien connue : selon laquelle l’état final de l’atmosphère dépend fortement des conditions initiales précises. Il est impossible de mesurer les conditions initiales avec la précision requise, les scientifiques atmosphériques alimentent donc leurs modèles informatiques avec plusieurs scénarios différents, les conditions initiales variant légèrement pour chacun. Il en résulte un ensemble de prévisions différentes et un présentateur météo parlant en pourcentages de possibilités, plutôt qu’en certitudes.

Voir également: De notre temps.